kantrium.com | E-Norway.ru | HELFI.ru | MySuomi.com

Ряды Фурье и Вычисление частотного спектра

Ряды Фурье

  C помощью этих рядов почти любой периодический сигнал можно представить в виде ряда синусоидальных сигналов. Сила этого подхода состоит в том, что если мы определим отклик цепей на синусоиды различных частот, то сможем вычислить, как эти цепи будут реагировать на соответствующий сигнал. Синусоидальные составляющие сигнала, называемые его спектром, формируют представление сигнала в частотной области. Это очень мощный подход к проектированию цепей. Хотя представление сигналов в частотной области напрямую соответствует физическим объектам в форме волн, например, когда речь идет об электромагнитных излучениях (радиоволнах, свете и т. д.), но важно помнить, что представление сигнала в частотной области — это в своей основе математическая модель. Таким образом, мы можем выполнять частотный анализ сигналов, которые изменяются не только во времени, но по другим параметрам, например, в пространстве.

Вычисление частотного спектра

   Почти любой периодический сигнал можно представить в виде суммы ряда Фурье. Существует две главных формы ряда Фурье— экспоненциальная и тригонометрическая. Они эквивалентны вследствие того, что ejθ=cos θ + j sin θ

Для экспоненциальной формы сигнал формируется из

pic1

Для реальных сигналов можно также использовать тригонометрическую форму

pic2

 

Длятригонометрической формы период обычно принимается равным 2п что

pic3

   В качестве примера рассмотрим треугольный сигнал, где у = х/2 в интервале от -п до п. На рис. 2.7 показаны три первых члена ряда Фурье для этого сигнала, а также сумма двух и трех первых членов. С учетом трех первых членов основная форма сигнала проявляется уже достаточно четко. На рис. 2.8 показано приближение, учитывающее 30 первых членов ряда Фурье.

pic4

   Хотя не каждый возможный периодический сигнал имеет представление в виде ряда Фурье, одно из условий такого представления (которое является достаточным, но не необходимым) состоит в том, что интеграл квадрата функции должен быть конечным. Такое же условие имеет место и для мощ ности сигнала (сигнала с конечной мощностью на периоде). Все реальные сигналы должны иметь конечную мощность, так что все реальные сигналы имеют представления в виде ряда Фурье.Ряд Фурье непрерывной функции также является непрерывным. Если исходгый сигнал не является непрерывным, то для ряда Фурье наблюдается эффект Гиббса, когда ряд Фурье сходится в средней точке разрыва. Ряд Фурье имеет примерно 18-процентные выбросы на концах разрыва с колебаниями, которые имеют ту же частоту, что и самый высокочастотный компонент в ряде Фурье. Энергия этих выбросов, называемых "ушами Гиббса", уменьша ется при N -> ∞ , а их амплитуда не уменьшается. Треугольный сигнал на рис. 2.8 имеет разрыв, так что "уши Гиббса" присутствуют, но они еще лучше видны на прямоугольном сигнале (рис. 2.9). Обратите внимание, что никакой реальный сигнал не имеет разрывов, т. к. это потребовало бы, чтобы электро¬ны двигались с бесконечной скоростью, что невозможно. Однако математи¬ческая форма, которую мы используем для представления реального сигнала, может иметь разрывы для того, чтобы аппроксимировать сигнал (примером такой формы является ступенчатая функция).

ПечатьE-mail

Яндекс.Метрика